Many studies on the astrolabe were written during the period from the ninth to the eleventh century, but very few of them related to projection, i.e., to the geometrical transformation underlying the design of the instrument. Among those that did, the treatise entitled The Art of the Astrolabe, written in the tenth century by Abū Sahl al-Qūhī, represents a particulary important phase in the history of geometry. This work recently appeared in a critical edition with translation and commentary by Roshdi (...) Rashed. It contains the earliest known theory of the projection of the sphere, a theory developed in a commentary written by a contemporary mathematician, Ibn Sahl. Following R. Rashed, the present article offers here a thorough mathematical analysis of al-Qūhī's treatise and of the commentary by Ibn Sahl. It also presents, with commentary, an account of a contemporary treatise on the projection of the sphere, written by al-[Sdotu]āġānī. The latter work is concerned with the conical projection of a sphere on a plane, from a point on an axis of the sphere, other than its pole. The author consciously avoids the case of stereographic projection, but he studies all the other cases of conical projection which, if we employ the terms of al-Qūhī's theory, are compatible with the movement of the instrument. These three texts provide clear evidence of the emergence, during the second half of the tenth century, of a new field of study, that of projective geometry. (shrink)

Nous analysons le développement mathématique et la signification épistémologique du mouvement de géométrisation de la physique théorique, à partir des travaux fondamentaux d’E. Cartan et de H. Weyl jusqu’aux théories de jauge non-abéliennes récentes. Le principal propos de cet article est d'étudier ces développements qui ont été inspirés par les tentatives de résoudre l'un des problèmes centraux de la physique théorique au siècle dernier, c’est-à-dire comment arriver à concilier la relativité générale et la théorie quantique des champs dans un cadre (...) théorique unitaire du monde physique. Ces développements ont produit un changement conceptuel profond concernant tout particulièrement la façon de concevoir les rapports entre structures mathématiques et phénomènes physiques. Nous mettons l’accent sur les points suivants : plutôt que de simplement s’appliquer aux phénomènes, les mathématiques sont impliquées dans leur constitution, autrement dit, les phénomènes sont autant d’effets qui émergent de la structure géométrique de l’espace-temps ; la structure géométrique et topologique de l’espace-temps est à l’origine de la dynamique de ce dernier; les symétries « internes » dictent les différentes interactions entre forces et entre particules ; l’invariance de jauge est un principe « universel » régissant les forces fondamentales et les interactions entre les champs de matière. (shrink)

Many studies on the astrolabe were written during the period from the ninth to the eleventh century, but very few of them related to projection, i.e., to the geometrical transformation underlying the design of the instrument. Among those that did, the treatise entitled The Art of the Astrolabe, written in the tenth century by Abu Sahl al-Quhi, represents a particulary important phase in the history of geometry. This work recently appeared in a critical edition with translation and commentary by Roshdi (...) Rashed. It contains the earliest known theory of the projection of the sphere, a theory developed in a commentary written by a contemporary mathematician, Ibn Sahl. Following R. Rashed, the present article offers here a thorough mathematical analysis of al-Quhi's treatise and of the commentary by Ibn Sahl. It also presents, with commentary, an account of a contemporary treatise on the projection of the sphere, written by al-[Sdotu]agani. The latter work is concerned with the conical projection of a sphere on a plane, from a point on an axis of the sphere, other than its pole. The author consciously avoids the case of stereographic projection, but he studies all the other cases of conical projection which, if we employ the terms of al-Quhi's theory, are compatible with the movement of the instrument (i.e. the rotation of the sphere around its axis). These three texts provide clear evidence of the emergence, during the second half of the tenth century, of a new field of study, that of projective geometry. (shrink)

Leibniz introduit l’expression « ⁰⁄₀ » en 1672 dans un écrit mathématique sur les séries numériques pour exprimer la somme des unités. Il s’agit très probablement d’une des premières apparitions de cette expression dans l’histoire des mathématiques. Leibniz cependant l’abandonne aussitôt. Elle apparaît à nouveau dans le contexte du calcul différentiel au moment où celui-ci fait débat à l’Académie royale des sciences. Une des questions les plus saillantes soulevées par l’introduction du nouveau calcul est de savoir si la notion de (...) différentielle doit être distinguée, dans la pratique, du zéro absolu. Cet article examine les efforts effectués, dans le cadre d’une nouvelle pratique mathématique, pour donner un sens à l’expression « ⁰⁄₀ ». On verra comment cette expression cesse de représenter une impossibilité algébrique, à condition de ne plus penser « 0 » comme un zéro absolu. Désormais, elle est le signe de l’existence d’une singularité d’une courbe. L’analyse de cette construction de sens met en évidence combien la représentation diagrammatique des caractères impliqués dans le calcul était importante pour les premiers pratiquants du calcul différentiel. (shrink)

L’emploi par Poincaré de la notion de convention au sujet des hypothèses géométriques signale un déplacement par rapport aux problématiques traditionnelles. La découverte des géométries non euclidiennes montre qu’il n’y a pas de cadre spatial unique ; plusieurs systèmes sont possibles. On affirme ainsi l’existence d’un aspect essentiel de la connaissance qui ne dérive pas des faits et ne relève ni de l’inné ni de l’intuition. L’introduction de la notion de convention, dont il s’agit de prendre la mesure, ouvre la (...) voie à une prise en compte des facteurs décisionnels en science. Nous nous proposons, dans cet article, d’analyser l’argumentation de Poincaré en reconstruisant sa position face aux doctrines de Kant et de Mill.By understanding geometrical hypotheses as conventions, Poincaré significantly alters the traditional philosophical discussion of space. The discovery of non-Euclidean geometries proves that there is not a single spatial framework ; several systems are possible. Thus, there is an essential feature of knowledge that derives neither from empirical facts nor from intuition or innate understanding. The introduction of the notion of convention, whose significance is at issue here, provides a way of understanding the element of free choice in science. This article aims at analyzing Poincaré’s reasoning, by contrasting his viewpoint with that of Kant and Mill. (shrink)

Un système philosophique peut-il se maintenir à travers le temps ? Peut-il renaître après des siècles ? Oui, s'il peut faire l'objet d'une pensée vivante et, donc, personnelle.C'est pourquoi le cardinal Mercier estime que le thomisme authentique est appelé à se rajeunir sans cesse et à prendre la forme d'un néothomisme. Pour renouveller le thomisme, dit le Cardinal, « il ne peut s'agir simplement de retourner en arrière » ; il ne peut être question de considérer la doctrine thomiste comme (...) « une momie ensevelie dans un tombeau et autour duquel nous n'aurions qu'à monter la garde, mais comme un organisme toujours jeune, toujours en activité » ; en l'occurrence, ce qui importe avant tout, c'est esprit » dont la doctrine est animée. Pour saisir exactement l'idée du cardinal Mercier, il faut se référer à l'époque de son enseignement à l'Université de Louvain. En particulier, on doit se rappeler l'importance attachée à l'organisation universitaire de la recherche scientifique, au cours des dernières décades du dix-neuvième siècle, et il est nécessaire de se souvenir de la distinction introduite alors entre la « science faite » et la « science qui se fait » . Le cardinal Mercier n'a pas hésité à appliquer ces vues à la philosophie et dès lors au thomisme, qu'il considérait comme la philosophie vraie . Cependant il ne lui était guère possible, à cette époque, d'établir, à ce point de vue, une nette différence entre les sciences et la philosophie. Depuis lors, les résultats obtenus par la « critique des sciences », ainsi que certaines considérations de la philosophie d'aujourd'hui, sont venus jeter quelque lumière sur ce point capital. Au lieu d'étudier directement le problème, examinons le comportement du philosophe, pour savoir en quoi il diffère de celui de l'homme de science. Dans une étude philosophique se rencontrent régulièrement des références aux philosophes anciens, dont on discute les idées. On remarque que tout philosophe véritable garde indéfiniment son actualité : il ne se trouve jamais entièrement remplacé, annulé, par les penseurs qui le suivent. Assurément, personne ne songerait à prétendre, par exemple, qu'au vingtième siècle il n'y a plus aucun profit à étudier les classiques grecs ; et qui donc s'aviserait de nier que la disparition des œuvres de ces philosophes constituerait une perte irréparable ? A considérer l'histoire, il semble que tout se passe comme si un « colloque philosophique » se poursuivait depuis des siècles. Quelques dizaines de penseurs y prennant une part active. Or, il est remarquable qu'aucun des membres effectifs de ce Symposion ne s'efface jamais, ni ne cède la place à un autre. De fait, le groupe des penseurs déjà réunis voit, de temps à autre, de nouveaux se joindre à eux, mais toujours les derniers venus reconnaissent l'autorité des anciens et ils ne manquent pas de s'expliquer avec eux. Dans le secteur des sciences, il en va tout autrement. Pour s'y mettre au courant, c'est uniquement aux auteurs les plus récents qu'il convient de s'adresser. Les hommes de science du passé n'ont plus qu'une importance historique. Dès lors, on ne s'y réfère pas, on ne discute plus leurs opinions. A la lumière des résultats obtenus grâce à la critique des sciences, il est devenu possible de se faire une idée exacte de la valeur des sciences modernes, de définir la nature de leurs méthodes et la portée de leurs résultats. En conséquence, l'on peut poser le problème de la distinction entre les sciences et la philosophie avec quelque chance d'aboutir à une solution précise et dûment fondée. L'homme de science considère les données d'un point de vue objectif , du « point de vue de Sirius ». C'est notamment ce que fait le physicien lorsqu'il utilise des instruments pour enregistrer les faits et pour noter la régularité de leurs rapports spaciaux et temporels. Tout au contraire, le philosophe s'attache à « intelliger » ces mêmes réalités et à déceler les « significations » qu'elles comportent. Dès lors, en philosophie, un facteur personnel intervient immanquablement, tant en ce qui concerne la richesse des données d'expérience qu'en ce qui concerne la force du regard intellectuel qui les pénètre et les saisit. Ce qui n'autorise nullement de conclure au subjectivisme, bien au contraire. Dès lors, on comprend que tout système philosophique porte la marque de la personnalité « incommunicable » de son auteur et que, pour autant, il demeure irréductible à tout autre, — ce qui entraîne la condamnation de l'éclectisme. En effet, comme la personnalité humaine, tout en demeurant liée à la matière, est essentiellement fonction de l'esprit et, par conséquent de l'activité libre, on comprend que l'œuvre d'un philosophe ne puisse remplacer adéquatement celle d'un autre, même lorsqu'elle lui est de beaucoup supérieure : l'une et l'autre demeurera donc actuelle et chacune vaudra d'être entendue, discutée, fût-ce pour être réfutée. Par ailleurs, on ne voit pas le moyen de prévoir comment la pensée philosophique s'orientera dans la suite. A cet égard, il y a bien des traits communs à l'art et à la philosophie. Cependant la différence demeure profonde, car le propre de la philosophie est de tendre à découvrir la vérité dans sa valeur absolument universelle ; et en cela son activité de recherche rejoint celle de l'homme de science. C'est pourquoi, les différents systèmes ne présentent pas la même valeur philosophique ; et, comme il nous est donné de suivre les échange de vues du grand « colloque philosophique », nous sommes en droit de donner la palme à tel ou tel penseur, par exemple S. Thomas, s'il nous paraît être le meilleur. Il reste, que les autres penseurs se trouvent, eux aussi, d'une manière qui leur est propre, en possession de quelque vérité, même s'ils s'égarent sur les questions fondamentales ; ainsi qu'aimait à le répéter le cardinal Mercier : « dans toute erreur il y a une âme de vérité » Il en résulte que si l'on veut se faire le disciple de S. Thomas, c'est par un effort personnel qu'on doit poursuivre l'œuvre de celui-ci. Sans doute, le thomiste est-il supposé reprendre la structure essentielle du système, l'ensemble des thèses doctrinales, mais c'est pour les faire vivre, à savoir pour les rendre fécondes en les gardant enracinées dans une expérience de base, comme S. Thomas, sans aucun doute, a dû le faire lui-même. C'est à partir de pareille expérience que le Docteur Angélique a abstrait ses dées et qu'il a établi les catégories fondamentales de son système ; et c'est à ces données d'expérience qu'il n'a cessé de se référer, pour éclairer toujours davantage ses idées et en équilibrer le contenu, pour les compléter et, au besoin, les corriger. Il faudrait donc découvrir où se situe cette expérience chez S. Thomas, — par exemple, en rapport avec sa conception si personnelle de l'unité substantielle de l'homme et celle non moins personnelle de la signification de Y esse ; — travail difficile, car S. Thomas se retire modestement derrière l'exposé sincère de sa doctrine, sans fournir la description « phénoménologique » de son expérience personnelle, comme les auteurs actuels se plaisent à le faire ; travail ardu, qui suppose l'étude attentive et scrupuleuse du texte authentique, du milieu doctrinal, des sources littéraires et de la manière dont S. Thomas les utilise. Les résultats de pareille étude permettront de voir se profiler l'expérience qui fut la terre nourricière de la doctrine élaborée par le Docteur Angélique. Il faudra s'efforcer de faire soi-même une expérience analogue, tout aussi personnelle, c'est-à-dire liée étroitement au tempérament de la personne qui la fait, à la formation qu'elle a acquise, dès lors aux conditions de temps et d'espace dans lesquelles elle s'est développée, à l'atmosphère philosophique qu'elle respire, etc. : bref, une expérience réelle, vivante, donc « d'aujourd'hui ». C'est à partir de là que surgira la doctrine et que pourra se construire le système ; comme c'est à partir de là que l'idée thomiste pourra croître, se renouveller, garder sa perpétuelle jeunesse et sa fécondité. (shrink)

Cet article explore la signification de l’espace comme un « lieu pratiqué » selon la notion reprise à Michel de Certeau, en examinant la construction d’un gymnase et ses effets sur les relations sociales et les réseaux disciplinaires. Tout comme le laboratoire ou le théâtre, le gymnase a été spécifiquement pensé pour permettre certaines actions et en témoigner, en reflétant des conceptions de l’entraînement et de l’éducation corporelle. Ses divers agencements de l’espace y favorisent une incorporation de la race, du (...) lieu, du genre et de l’identité. Le War Memorial Gymnasium de l’Université de Colombie britannique dans l’Ouest du Canada, construit en 1851, est utilisé pour illustrer la manière dont, sous des formes complexes, les géométries du pouvoir – ces multiples configurations de l’espace et des relations sociales à l’intérieur et autour du gymnase – produisent dans ses murs une culture didactique et sportive aux enjeux véritablement stratégiques et tactiques, qui active et articule les division de genre. (shrink)

RésuméDans cet article, l'auteur discute les principes qui ont guidé M. Gonseth dans ses recherches sur la géométrie et le problème de l'espace. M. Gonseth défend la thèse selon laquelle avant de tenter de résoudre le problème de la géométrie, on doit disposer des facultés d'intuition, de déduction et d'une connaissance expérimentale de l'espace.M. Tummers a publié trois brochures sur la géométrie: 1. De Opbouw der Meetkunde ; 2. De Meetkunde en de Ervaring ; 3. Wijsgerige Verantwoording (...) van het Paralelenpostulaat . Il défend la thèse selon laquelle une science dont toute expérience serait bannie ne pourrait pas exister. Dans la troisième de ces brochures, il montre que la proposition des parallèles n'est pas une thèse qui peut ětre déduite, mais un véritable postulat. L'auteur suppose dans sa recherche — exactement comme M. Gonseth — l'expérience ainsi que les facultés d'intuition et de déduction.L'auteur conclut que M. Gonseth, lorsqu'il montre que l'expérience et les facultés d'intuition et de déduction sont indispensables pour la construction de la géométrie, a prouvé une thèse d'une importance fondamentale. L'auteur essaye de construire une géométrie abstraite, mais dirigée par l'expérience, alors que Hilbert introduit une géométrie entièrement abstraite, excluant l'expérience comme instrument de contrǒle.In this article the author discusses the principles leading Mr. Gonseth in his search of geometry and the problem of the space. The following books of Mr. Gonseth are consulted:I. La déduction préalable. II. Les trois aspects de la Géométrie. III. L'Edification axiomatique.Mr. Gonseth argues that—before attempting to solve the problem of geometry—we must avail ourselves of the faculties of intuition and deduction, and of an experimental knowledge of the space.The author Mr. Tummers has published three brochures on geometry:1° De Opbouw der Meetkunde 1941. 2° De Meetkunde en de Ervaring 1949. 3° Wijsgerige Verantwoording van het Paralelenpostulaat 1951.The author defends the thesis that a science from which experience is excluded cannot exist.In the third brochure the author demonstrates that the proposition of the parallels is not a thesis which can be deduced, but a true postulate. The author, exactly as Mr. Gonseth, supposes in his research the experience and the faculties of intuition and deduction.The author concludes that Mr. Gonseth, when defending that experience and the faculties of intuition and deduction are indispensable for the construction of geometry, proves a thesis of great and fundamental importance.The author tries to build up an abstract geometry but directed by experience, Hilbert introduces a geometry, entirely abstract, whereas excluding the experience as instrument of supervision. (shrink)

D’un point de vue patrimonial, le célèbre texte des Éléments de géométrie de Clairaut, publié la première fois en 1741, est traditionnellement considéré comme le début d’une riche histoire plutôt que son aboutissement, en raison notamment du succès considérable qu’il a eu dès sa parution et de la manière dont Clairaut en a défendu le projet, en rupture apparente avec le modèle euclidien. Nous proposons ici une image un peu différente qui s’appuie sur la nature très particulière de la (...) production géométrique foisonnante dans laquelle le traité de Clairaut s’insère et doit être compris. Nous présentons tout d’abord le côté paradoxal de l’ouvrage, qui revendique non seulement une grande originalité mais aussi une non moins grande conformité au genre des « éléments » de géométrie spéculative. Nous indiquons ensuite cinq raisons majeures qui montrent que le texte était en effet largement conforme aux attendus de l’époque, y compris dans sa revendication d’accessibilité et de rupture vis-à-vis du modèle euclidien. Nous dégageons deux originalités de l’ouvrage : le fait de confondre les caractéristiques des géométries spéculatives et pratiques dans un seul et même ouvrage ; et le fait d’écrire un ouvrage de géométrie suivant un « ordre analytique », mais sans algèbre. (shrink)

Résumé La méthode de Michel Aubry dérive d’une pratique musicale sarde. Les launeddas, faits en roseau, ont des mesures précises correspondant aux notes. L’artiste en tire une géométrie contagieuse pour les normes de l’art moderne (de Rodtchenko à Beuys). Traduit par une instrumentation archaïque, le moderne survit, devient contemporain.

En 1587, le jeune Galilée est invité à donner Due lezioni all’Accademia Fiorentina circa la figura, sito e grandezza dell’Inferno di Dante [Galilei 1587] afin d’éclairer une vive controverse sur l’interprétation de la géographie de l’Enfer dantesque. Ce travail d’exégèse littéraire permet à Galilée de faire reconnaître ses talents mathématiques comme ses qualités pédagogiques. Mais la portée de ces leçons va bien au-delà, car on peut y voir apparaître plusieurs thèmes majeurs de l’œuvre ultérieure de Galilée : au plan mathématique, (...) l’importance de la géométrie d’inspiration archimédienne, au plan physique, l’étude des questions de similitude que pose la résistance des matériaux – sans oublier l’intérêt constant du scientifique pour la langue et pour la culture littéraire. (shrink)

Il s'agit de retracer ici la présence spectrale dans l'oeuvre de Gaston Bachelard de ce que nous appelons «École de l'ETH ». Nous en avons choisi trois figures fondamentales: Hermann Weyl, Wolfgang Pauli et Gustave Juvet. Pour le premier, nous traitons de sa place centrale et permanente dans la constitution bachelardienne d'une philosophie qui se veut à hauteur de la nouvelle « géométrie physique » rigoureusement construite dans un esprit riemannien. Quant à Pauli, nous montrons une insoupçonnable affinité qui (...) est étayée par les analyses remarquables qu'en donna le philosophe: de la construction urgente d'une« métaphysique quantique», qui se fonde sur les implications d'un principe de Pauli bien compris, à l'idée de «particule métaphysique», en passant par les enjeux décisifs et si prometteurs du «postulat de non-analyse». Dans le cadre de cette polyconstruction convergente de l'entreprise « surrationaliste », nous traitons de la troisième figure, moins connue mais tout aussi marquante, du mathématicien-philosophe Gustave Juvet. (shrink)

Partant du principe que la philosophie de la connaissance de Poincaré est cohérente, j’essaie de faire voir que son conventionnalisme en géométrie et en physique n’est qu’une conséquence de son intuitionnisme. Après avoir rappelé, dans la première section, ce qu’est l’intuitionnisme et décrit ce que l’intuitionnisme de Poincaré a de spécifique, je montre, dans la deuxième section, comment celui-ci retentit sur la conception de l’espace. Dans la troisième section, j’applique les conclusions précédemment établies à la question très controversée de (...) la découverte de la relativité restreinte en renvoyant dos à dos les historiens : il n’a rien manqué à Poincaré pour découvrir la relativité restreinte, car, cette théorie étant incompatible avec son intuitionnisme, il n’avait aucune raison d’y adhérer.Taking for granted that Poincaré’s epistemology is consistent, I attempt to show that his geometrical and physical conventionalism is no more than a consequence of his intuitionism. After having rehearsed the issues defining intuitionism and describing what is particular to Poincaré’s version in the first section of the paper, I show, in the second section, how Poincaré’s intuitionism influenced his conception of space. In the last section, I apply these now established conclusions to a very contested issue, the discovery of the special theory of relativity. Rejecting the view of historians on both sides of the issue, I argue that Poincaré had everything he would have needed to discover the special theory of relativity, but that since this theory is incompatible with his intuitionism, he had no reason to adopt it. (shrink)

The analysis of the measurement of gravitational fields leads to the Rosenfeld inequalities. They say that, as an implication of the equivalence of the inertial and passive gravitational masses of the test body, the metric cannot be attributed to an operator that is defined in the frame of a local canonical quantum field theory. This is true for any theory containing a metric, independently of the geometric framework under consideration and the way one introduces the metric in it. Thus, to (...) establish a local quantum field theory of gravity one has to transit to non-Riemann geometry that contains (beside or instead of the metric) other geometric quantities. From this view, we discuss a Riemann–Cartan and an affine model of gravity and show them to be promising candidates of a theory of canonical quantum gravity. (shrink)

En 1676, alors qu'il sejourne encore a Paris, Leibniz entreprend de composer un volumineux traite qui restera sans doute l'un de ses ecrits mathematiques les plus fortement charpentes: La quadrature arithmetique du cercle, de l'ellipse et de l'hyperbole et la trigonometrie sans tables qui en est le corollaire. Ce traite se presente comme un abrege exhaustif de la geometrie infinitesimale, dont Leibniz avait pu esperer qu'elle lui ouvrirait les portes de l'Academie des Sciences. Cependant, contraint de quitter la capitale avant (...) sa publication, il abandonnera derriere lui un ouvrage qui n'allait voir le jour qu'en 1993. Le probleme de la quadrature est pretexte a soulever plusieurs enjeux capitaux tant pour les mathematiques que pour la philosophie. Il permet notamment a Leibniz d'examiner avec une grande precision la question de la methode, des fondements, ainsi que des notions cruciales de rigueur et d'infini, tout en mettant en evidence leurs applications pratiques. Si la presente edition de ce texte foisonnant ne reproduit pas l'integralite des variantes, elle en propose une version corrigee et annotee, qui s'accompagne d'une traduction francaise en regard. (shrink)